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广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——数学选择题的解题策略

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广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——数学选择题的解题策略

帖子 由 Admin 于 周二 五月 18, 2010 3:27 pm

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一、知识整合
1.高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.
2 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是:要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法解的,就不必采用直接解;对于明显可以否定的选择枝应及早排除,以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保准确。
3.解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
二、方法技巧
1、直接法:
直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择枝“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1.若sin x>cos x,则x的取值范围是( )
(A){x|2k - <x<2k + ,k Z} (B) {x|2k + <x<2k + ,k Z}
(C) {x|k - <x<k + ,k Z } (D) {x|k + <x<k + ,k Z}
解:(直接法)由sin x>cos x得cos x-sin x<0,
即cos2x<0,所以: +kπ<2x< +kπ,选D.
另解:数形结合法:由已知得|sinx|>|cosx|,画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象,从图象中可知选D.
例2.设f(x)是(-∞,∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )
(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5
解:由f(x+2)=-f(x)得f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5),由f(x)是奇函数,得
f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选B.
也可由f(x+2)=-f(x),得到周期T=4,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
2、特例法:
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例3.已知长方形的四个项点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射解等于反射角),设P4坐标为( 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解:考虑由P0射到BC的中点上,这样依次反射最终回到P0,此时容易求出tan = ,由题设条件知,1<x4<2,则tan ≠ ,排除A、B、D,故选C.
另解:(直接法)注意入射角等于反射角,……,所以选C.
例4.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
解:(特例法)取m=1,依题意 =30, + =100,则 =70,又{an}是等差数列,进而a3=110,故S3=210,选(C).
例5.若 ,P= ,Q= ,R= ,则( )
(A)R P Q (B)P Q R
(C)Q P R (D)P R Q
解:取a=100,b=10,此时P= ,Q= =lg ,R=lg55=lg ,比较可知选P Q R
当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30%左右.
3、筛选法:
从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据“四选一”的指令,逐步剔除干扰项,从而得出正确的判断.
例6.已知y=log (2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D) [2,+∞
解:∵ 2-ax是在[0,1]上是减函数,所以a>1,排除答案A、C;若a=2,由2-ax>0得x<1,这与x∈[0,1]不符合,排除答案D.所以选B.
例7.过抛物线y =4x的焦点,作直线与此抛物线相交于两点P和Q,那么线段PQ中点的轨迹方程是( )
(A) y =2x-1 (B) y =2x-2
(C) y =-2x+1 (D) y =-2x+2
解:(筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0),开口向右,由此排除答案A、C、D,所以选B;
另解:(直接法)设过焦点的直线y=k(x-1),则 ,消y得:
k x -2(k +2)x+k =0,中点坐标有 ,消k得y =2x-2,选B.
筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中约占40%.
4、代入法:
将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案.
例8.函数y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是( )
(A) (B) (C) 2 (D) 4
解:(代入法)f(x+ )=sin[ -2(x+ )]+sin[2(x+ )]=-f(x),而
f(x+π)=sin[ -2(x+π)]+sin[2(x+π)]=f(x).所以应选B;
另解:(直接法)y= cos2x- sin2x+sin2x=sin(2x+ ),T=π,选B.
例9.函数y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴的方程是( )
(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=
解:(代入法)把选择枝逐次代入,当x=- 时,y=-1,可见x=- 是对称轴,又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”,故选A.
另解:(直接法) ∵函数y=sin(2x+ )的图象的对称轴方程为2x+ =kπ+ ,即
x= -π,当k=1时,x=- ,选A.
代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。
5、图解法:
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上也叫数形结合法.
例10.在 内,使 成立的 的取值范围是( )
(A)    (B)   
(C)   (D)
解:(图解法)在同一直角坐标系中分别作出y=sinx与y=cosx的图象,便可观察选C.
另解:(直接法)由 得sin(x- )>0,即2 kπ<x- <2kπ+π,取k=0即知选C.
例11.在圆x +y =4上与直线4x+3y-12=0距离最小的点的坐标是( )
(A)( , ) (B)( ,- )
(C)(- , ) (D)(- ,- )
解:(图解法)在同一直角坐标系中作出圆x +y =4和直线4x+3y-12=0后,由图可知距离最小的点在第一象限内,所以选A.
直接法先求得过原点的垂线,再与已知直线相交而得.
例12.设函数 ,若 ,则 的取值范围是( )
(A)( ,1) (B)( , )
(C)( , ) (0, ) (D)( , ) (1, )
解:(图解法)在同一直角坐标系中,作出函数
的图象和直线 ,它们相交于(-1,1)
和(1,1)两点,由 ,得 或 .
严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,
而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时
非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的选择.如:
例13.函数y=|x2—1|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
本题如果图象画得不准确,很容易误选(B);答案为(C)。
数形结合,借助几何图形的直观性,迅速作正确的判断是高考考查的重点之一;历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50%左右.
6、割补法
“能割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题长度.
例14.一个四面体的所有棱长都为 ,四个项点在同一球面上,
则此球的表面积为( )
(A)3 (B)4 (C)3 (D)6
解:如图,将正四面体ABCD补形成正方体,则正四面体、正方体
的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为 ,所以正
方体棱长为1,从而外接球半径R= .故S球=3 .
直接法(略)
我们在初中学习平面几何时,经常用到“割补法”,在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”,这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此,当我们遇到不规则的几何图形或几何体时,自然要想到“割补法”.
7、极限法:
从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题过程.
例15.对任意θ∈(0, )都有( )
(A)sin(sinθ)<cosθ<cos(cosθ) (B) sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ)
(C)sin(cosθ)<cos(sinθ)<cosθ (D) sin(cosθ)<cosθ<cos(sinθ)
解:当θ 0时,sin(sinθ) 0,cosθ 1,cos(cosθ) cos1,故排除A,B.
当θ 时,cos(sinθ) cos1,cosθ 0,故排除C,因此选D.
例16.不等式组 的解集是( )
(A)(0,2) (B)(0,2.5) (C)(0, ) (D)(0,3)
解:不等式的“极限”即方程,则只需验证x=2,2.5, 和3哪个为方程 的根,逐一代入,选C.
例17.在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )
(A)( π,π) (B)( π,π)
(C)(0, ) (D)( π, π)
解:当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时,则底面正多边形便为极限状态,此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π,且小于π;当棱锥高无限大时,正n棱柱便又是另一极限状态,此时α→ π,且大于 π,故选(A).
用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速找到答案。
8、估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次.
例18.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为
3的正方形,EF∥AB,EF ,EF与面AC的距离为2,则该多面
体的体积为( )
(A) (B)5 (C)6 (D)

解:由已知条件可知,EF∥平面ABCD,则F到平面ABCD的距离为2,
∴VF-ABCD= •32•2=6,而该多面体的体积必大于6,故选(D).
例19.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )
(A) π    (B) π     (C)4π     (D) π
解∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r= ,则S球=4πR2≥4πr2= π>5π,故选(D).
估算,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.
三、总结提炼
从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”,“手段”都是无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择枝正确的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速.
总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答,但更应该充分挖掘题目的“个性”,寻求简便解法,充分利用选择枝的暗示作用,迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.
四、训练题
1、设A、B、C是三个集合,则“A∩B=A∩C”是“B=C”的
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件
C、充分且必要条件 C、既不充分也不必要条件
2、已知集合 ,集合 ,则 等于
A、{2} B、{2,8} C、{4,10} D、{2,4,8,10}
3、已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法则 ,x∈A,y∈B。对于集合B中的元素1,下列说法正确的是
A、在A中有1个原象 B、在A中有2个原象
C、在A中有3个原象 D、在A中无原象
4、设f:x→x2是集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则A∩B只可能是
A、 B、 或{1} C、{1} D、 或{2}
5、设集合A={1,2},集合b={a,b,c},那么从集合A到集合B的映射共有
A、4个 B、6个 C、8个 D、9个
6、已知定义域为(—∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)是偶函数,并且在(—∞,0)上是增函数,
若f(—3)=0,则 的解集是
A、(—3,0)∪(0,3) B、(—∞,—3)∪(0,3)
C、(—∞,—3)∪(3,+∞) D、(—3,0)∪(3,+∞)
7、函数 的单调递增区间是
A、 B、 C、(0,+∞) D、
8、已知x1是方程 的根,x2是方程 的根,则x1+x2的值所在区间是
A、(0,1) B、(1,3) C、(3,5) D、(5,+∞)
9、已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x—1),且x∈[—1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为
A、2 B、3 C、4 D、5
10、已知直线x=1是函数y=f(2x)图象的一条对称轴,那么函数y=f(3—2x)的图象
A、关于直线 对称 B、关于直线 对称
C、关于直线 对称 D、关于直线 对称
11、已知函数 (1≤x≤3)是单调递增函数,则实数a的取值范围是
A、 B、 C、 D、
12、对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点,函数f(x)=6x—6x2的不动点是
A、 或0 B、 C、 或0 D、
13、已知函数g(x)的图象与函数f(x)=x2+1的图象关于直线x=1对称,则g(x)等于
A、 B、 C、 D、
14、设二次函数 ,若 ,则f(m+1)的值是
A、正数 B、负数 C、非负数 D、与m有关
15、设集合 , ,则
A、M=N B、M∩N= C、N M D、M N
16、已知函数f(x)=2mx+4,若在[—2,1]上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是
A、 B、 C、 D、
17、若 是第四象限角,则 是
A、第二象限角 B、第三象限角
C、第一或第三象限角 D、第二或第四象限角
18、若角 与角 的终边关于y轴对称,则
A、 ,k∈Z B、 ,k∈Z
C、 ,k∈Z D、 ,k∈Z
19、设 是第二象限角,则点P(sin(cos ),cos(cos ))在
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
20、函数 图象的一条对称轴方程是 ,则直线 的倾斜角为
A、 B、 C、 D、
21、将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位;再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变;最后将所得图象向上平移2个单位,得到的曲线与函数 的图象重合,则函数 的解析式是
A、 B、
C、 D、
22、函数 的定义域是
A、 B、
C、 D、
23、下列函数中,最小正周期为 ,且图象关于直线 成轴对称图形的是
A、 B、
C、 D、
24、若函数 在区间 上单调递增,则函数g(x)的表达式为
A、cosx B、—cosx C、1 D、—tanx
25、若 是锐角,且满足 ,则cos 的值为
A、 B、 C、 D、
26、如果 , ,那么 的值等于
A、 B、 C、 D、2
27、函数 的最大值是
A、 B、 C、 D、
28、已知 ,且 是第三象限的角,则 的值等于
A、 B、 C、 D、
29、已知方程x2-4x-2=0的两个根为tanα、tanβ,且tanαA、 B、 C、—4 D、
30、设 、 、 ∈ ,且 , ,则 等于
A、 B、 C、 或 D、
31、△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则acosC+ccosA的值为
A、b B、 C、2cosB D、2sinB
32、在△ABC中,∠A=600,b=1,S△ABC= ,则 的值等于
A、 B、 C、 D、
33、已知钝角三角形的三边长分别为a,a+1,a+2,其最大内角不超过1200,则a的取值范围是
A、 B、034、若a,b是任意实数,且a>b,则
A、a2>b2 B、 C、lg(a—b)>0 D、
35、已知01且ab>1,则下列不等式中成立的是
A、 B、
C、 D、
36、已知a>2,x∈R, , ,则p、q的大小关系为
A、p≥q B、p>q C、p37、若a,b∈R,则下列不等式:(1)a2+3>2a;(2)a2+b2≥2(a—b—1);
(3) ;(4) 中一定成立的是
A、(1)(2)(3) B、(1)(2)(4) C、(1)(2) D、(2)(4)
38、不等式组 有解,则实数a的取值范围是
A、(—1,3) B、(—∞,—1)∪(3,+∞)
C、(—3,1) D、(—∞,—3)∪(1,+∞)
39、当x∈(0, 1)时,不等式 恒成立,则实数a的取值范围是
A、(2,+∞) B、 C、(1,2) D、
40、当 时, 恒成立,则实数a的取值范围是
A、a≥3 B、 或a≥3
C、 D、141、若不等式 对于任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是
A、(—∞,3) B、 C、(—∞,—3) D、
42、不等式 的解集为
A、(0,1) B、(1,+∞) C、(0,+∞) D、(—∞,+∞)
43、已知实数x、y满足条件 ,则 的取值范围是
A、 B、 C、 D、
44、长方体的全面积为72,则长方体的对角线的最小值是
A、 B、 C、3 D、6
45、若数列{an}的前n项和公式为 ,则a5等于
A、log56 B、 C、log36 D、log35
46、由下列各表达式确定的数列{an}:(1)an= —5,(2)an=n2,(3)an= —n,
(4)Sn=a1+a2+…+an=n2+1,其中表示等差数列的序号是
A、(1)(3)(4) B、(1)(2) C、(1)(3) D、(2)(3)(4)
47、首项为31,公差为—6的等差数列{an}中,前n项和为Sn,则数列{Sn}中与零最近的项是
A、第9项 B、第10项 C、第11项 D、第12项
48、已知数列—1,a1,a2,—4成等差数列,—1,b1,b2,b3,—4成等比数列,则 的值为
A、 B、 C、 D、

【参考答案】
1—5 BBDBD 6—10 DDCCA 11—14 BADB 15—18 CBDB 19—23 BBCDC
24—28 BBBAC 29—33 BCAAD 34—38 BBACA 39—43 DBCAC 44—48 DBCCA

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